PhysMathScience: A poderosa universalidade da terceira lei de Kepler

Como esta é a primeira postagem de 2018, eu decidi falar sobre uma aplicação de uma das leis físicas que mais gosto, amplamente discutida até mesmo no ensino médio, e que foi derivada por Johannes Kepler, no século XVII, em Praga (falo um pouco de Kepler aqui). Kepler é, para mim, um herói, no sentido de que nunca abandonou sua ciência, apesar das infinitas adversidades que surgiram em sua vida. Vale a pena mencionar: dois casamentos infelizes, a morte de muitos de seus filhos, mãe acusada de bruxaria, perseguição da Igreja Católica por ele ser protestante e, claro, a pouca amizade entre ele e seu principal mentor, Tycho Brahe. Nada disso foi suficiente para que Kepler desistisse de sua busca pela harmonia do mundo, e todos nós sabemos no que resultou sua persistência: confirmação e ampliação do modelo heliocêntrico de Copérnico, mostrando que a órbita de Marte é elíptica (e, consequentemente, a dos outros planetas), a lei das áreas (planetas em suas órbitas "varrem" áreas iguais em tempos iguais) e a poderosa lei dos períodos. Esta última, em termos matemáticos, diz que:

\begin{equation}
\frac{T^2}{R_{medio}^3} = C,
\label{terceira_lei}
\end{equation}

onde $T$ e $R_{medio}$ são o período e o raio médio de uma dada órbita, e $C$ é uma constante que depende do corpo de maior massa no sistema em questão. Matematicamente, a constante C é derivada através de considerações mecânicas (que podem ser vistas aqui), cujo resultado é $\frac{4\pi^2}{GM_{sol}}$, com $G = 6,6708\times10^{-11}m^3Kg^{-1}s^{-2}$ e $M_{sol} \approx 1,98\times 10^{30} Kg$. A Tabela 1 abaixo calcula a razão entre o quadrado do período e o cubo do raio médio para os planetas do sistema solar. É impressionante a precisão da Terceira Lei de Kepler. Deve-se ressaltar que Kepler fundou as bases da astrofísica, uma vez que derivou leis universais, aplicáveis em qualquer lugar do universo para descrever qualquer tipo de sistema estelar com planetas dançando ao seu redor!

Tabela 1: cálculo da Lei dos Períodos para os planetas do sistema solar. Fonte: mundoeducação.

Em novembro de 2017 uma descoberta bastante intrigante foi anunciada por cientistas da agência espacial européia (ESO), a respeito de um planeta cujas características físico-químicas o colocam como um dos mais prováveis a abrigar vida. Talvez seja importante dizer que "abrigar vida" significa que sua localização está dentro da "zona habitável" de uma estrela. Esta região é, a grosso modo, aquela em que a quantidade de radiação que chega ao planeta é suficiente para manter água em estado líquido e atmosferas com características similares às da Terra.

O planeta descoberto, nomeado Ross 128b, orbita a estrela Ross 128 do tipo anã-vermelha, na constelação de Virgo (Virgem), e juntos localizam-se a "apenas" 11 anos-luz (um ano-luz é o caminho percorrido pela luz a 300 000 Km/s em um ano e corresponde a, aproximadamente, 9 trilhões de quilômetros) da Terra. Esta é uma distância relativamente pequena, uma vez que outros planetas similares à Terra encontrados em estudos anteriores localizam-se a pelo menos 39 anos-luz (mais info aqui). Vale a pena mencionar o planeta Proxima B, o qual orbita a estrela Proxima Centauri, que é a mais próxima da Terra (4 anos-luz). Este planeta localiza-se também na zona habitável de sua estrela, no entanto, ele está tão próximo dela que erupções naturais estelares inundam sua superfície de radiação absolutamente nociva à vida, o que torna Ross 128b ainda mais especial.

Com isso em mente, eu me propús a pensar em formas de obter alguns parâmetros tanto de Ross 128b a partir das leis de Kepler. O mínimo de informação a respeito de um sistema planetário que é sabido através de técnicas espectroscópicas de interferência (mais info aqui) são as massas da estrela e do planeta, e seu período de translação. Dessa forma, o raio orbital médio é extraído da equação \ref{terceira_lei} escrevendo-a na seguinte forma:

\begin{equation}
\frac{T_R^2}{R_R^3} = \frac{4\pi^2}{GM_{Ross128}},
\label{kep_ross}
\end{equation}

onde $T_R$ e $R_R$ são o período e o raio orbitais de Ross 128b. Se isolarmos o termo relativo ao raio médio, $R_R$, obtemos:

\begin{equation}
R_R = \left( \frac{T_R^2 G M_{Ross128}}{4\pi^2} \right)^{1/3}.
\label{kepler_ross}
\end{equation}

Eu gostaria de ir um pouco além na equação \ref{kepler_ross} ao expressá-la não em termos da massa de Ross 128, mas do período orbital da Terra e do seu raio orbital médio. Para isso, suponha um parâmetro $\beta$ de proporcionalidade entre a massa de Ross 128 e a massa solar, tal que $M_{Ross128} = \beta M_{sol}$. A terceira lei de Kepler para o planeta Terra é similar à equação \ref{kep_ross}, apenas trocando a massa pela massa solar. Note que, a equação \ref{kepler_ross} pode ser reescrita na seguinte forma:

\begin{equation}
R_R = \left( \frac{T_R^2 G M_{sol}\beta}{4\pi^2} \right)^{1/3},
\end{equation}

Mas,

\begin{equation}
\frac{GM_{sol}}{4\pi^2} = \frac{R_T^3}{T_T^2},
\end{equation}

logo,

\begin{equation}
R_R = \left( \frac{T_R^2\beta}{T_T^2} \right)^{1/3}R_T.
\label{kepler_parametros_ross}
\end{equation}

Repare no quanto a equação \ref{kepler_parametros_ross} é bonita e intrigante. Ela mostra uma relação direta entre o raio orbital de um planeta em conjunto com uma estrela qualquer a 11 anos-luz de distância e dois parâmetros muito bem conhecidos de nosso planeta Terra aqui no sistema solar! Conhecendo o valor de $\beta$ e $T_R$ experimentalmente fica extremamente simples obter um parâmetro orbital absolutamente impressindível para dizer se o planeta encontra-se ou não em uma zona habitável. Em outras palavras, a equação \ref{kepler_parametros_ross} é capaz de apontar se um planeta extraterrestre é ou não possível candidato a abrigar a vida na forma em que nós a conhecemos aqui na Terra! Para o caso do sistema planetário de Ross 128, $\beta = 0,168$ e $T_R \approx 9,86$ dias, o que resulta em um raio orbital médio de, aproximadamente, 7,4 milhões de quilômetros (equivalente a 0,05 UA, onde 1 UA $\approx$ 150 milhões de quilômetros, que é a distância média da Terra ao Sol). Apesar deste raio orbital médio ser extremamente pequeno, anãs-vermelhas têm temperaturas de superfície muito menores que a do Sol ($\approx$3500 K) e irradiam muito menos energia ($\approx$ 10% da luminosidade do sol), o que faz com que sua zona habitável esteja localizada a curtas distâncias (se comparadas com as do sistema solar em que nós vivemos).

Será que Kepler um dia imaginou que seria possível relacionar grandezas do "nosso" sistema solar, que no final do século XVI era ainda acreditado ser geocêntrico, com parâmetros de outros planetas em outros sistemas solares em pontos inconcebivelmente distantes de nós? Giordano Bruno, pouco antes de ser queimado na fogueira pela inquisição da Igreja Católica, afirmava haver outros planetas orbitando cada uma das estrelas do firmamento, as quais seriam cada uma similares ao nosso sol. Inclusive, esta sua heresia o condenou ao perecimento, Como será que Kepler veria sua lei mais sutil ser empregada para buscar vida no universo? Será que sua harmonia do mundo, na verdade, não seria encontrar um pouco de nós mesmos nos confins do cosmos?